$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f(x)+\operatorname{sen} x}{x}$

Para eso, lo primerísimo que deberíamos saber es qué le está pasando a la función $f(x)$ cuando $x$ tiende a cero. Y de la función $f$ sabemos que cumple que:

$\frac{\operatorname{sen}(5 x)}{x} \lt f(x)<\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}+\frac{19}{4}$

Ah, esto tiene mucha pinta a sándwich, no? Pero claro, todo eso que vimos en sucesiones sigue valiendo. Veamos si $f$ nos quedó ensanguchada entre dos funciones que tienen el mismo límite, los hacemos en cálculos auxiliares:

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(5 x)}{x} $ Resolvemos esto sin L'Hopital, reescribimos para que nos aparezca el "límite especial" multiplicando y dividiendo por $5$. $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{5}{5} \frac{\operatorname{sen}(5 x)}{x} = 5 \cdot 1 = 5$

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x}+\frac{19}{4} $

El gran problema de este límite es la primera parte, donde tenemos una indeterminación "cero sobre cero", veamos específicamente eso a dónde tiende:

Multiplicamos y dividimos por el conjugado:

$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x+4)-4}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)} $

Simplificamos las $x$ y tomamos límite:

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{1(\sqrt{x+4}+2)} = \frac{1}{4} $

Por lo tanto,

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x}+\frac{19}{4} = \frac{1}{4} + \frac{19}{4} = 5$

Impecable, entonces por el teorema del sándwich podemos afirmar que...

$\lim _{x \rightarrow 0} f(x) = 5$

Ahora si, volvemos a nuestro límite:

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f(x)+\operatorname{sen} x}{x}$ ¿Y como resolvemos esto? Yo arrancaría distribuyendo esa $x$ del denominador: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f(x)}{x} + \frac{\sin(x)}{x} $ En el primer sumando se nos cancelan las $x$ y nos queda simplemente la $f$ (que sabemos que tiende a $5$ cuando $x$ tiende a $0$. Y a la derecha nos quedó el límite especial! Entonces... $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)+ \frac{\sin(x)}{x} = 5 + 1 = 6$